Règle à calculer musicale : la RM1

Présentation

Pour mon premier essai, je m’étais surtout inquiété de l’aspect logique, l’organisation des données sur la règle et la façon dont en tirer parti, mais il y avait aussi un autre point important : la fabrication !
En effet quand bien même il existerait des fabricants capable de réaliser cette règle (en Allemagne peut-être) je n’avais pas envie de dépenser d’argent pour ça, et surtout je voulais que tout le monde puisse se faire la sienne facilement. Usiner un tel objet en bois aurait probablement été possible (je ne renonce pas à en faire l’essai un jour) mais n’aurait pas été à la portée de tout le monde. D’autant plus que je ne voulais pas atteindre une épaisseur démesurée, donc avoir l’aspect d’une règle à calcul normale, ou à peine plus épaisse. Ce qui imposait de faire des gorges (pour la coulisse de la réglette) de moins de 2 mm d’épaisseur, je n’ai pas de fraise de cette dimension. J’ai donc opté pour du carton fort sur lequel j’ai collé une feuille imprimée avec une imprimante laser.
En ce qui concerne le curseur, fabriquer un truc en plastique transparent qui coulisse dans une rainure de moins de 2 mm ce n’était pas gagné d’avance, surtout en faisant en sorte que tout le monde puisse le faire avec juste quelques morceaux de récupération. J’ai fini par trouver mon bonheur avec un couvercle à moitié cassé de CD audio et un étui de mines de critérium…
La fabrication n’est pas trop difficile, il suffit d’être attentif et rigoureux, surtout pour le curseur.

Une belle photo de la règle avec sa notice et son étui.

Une belle photo de la règle avec sa notice et son étui.

À titre de comparaison en haut la Cartronex puis deux Graphoplex des années 70 et une Nestler (en bois, fabriquée probablement entre 1920 et 1930).

À titre de comparaison en haut la Cartronex puis deux Graphoplex des années 70 et une Nestler (en bois, fabriquée probablement entre 1920 et 1930).

Et ma notice à côté de celle de la Graphoplex, on voit que je me suis bien amusé à imiter le style.

Et ma notice à côté de celle de la Graphoplex, on voit que je me suis bien amusé à imiter le style.

Fonctionnalités

Après avoir longtemps cogité et fait de multiples essais, j’ai adopté une forme très classique, à savoir que la règle se compose d’une base, une réglette coulissante réversible et un curseur transparent.
La base de la règle comporte deux octaves complètes, ce qui permet d’afficher de façon complète n’importe quelle gamme.
La partie inférieure de la règle comporte le dessin de toutes les notes possibles (pas celles des grandes orgues, soyons modestes) avec lecture directe de la note dans toutes les clés possibles, y compris les moins répandues.
La Cartronex permet de faire les calculs suivants :

  • lecture directe de n’importe quelle note dans n’importe quelle clé, sur quatre octaves ;
  • calcul des armures ;
  • tableaux des tons voisins ;
  • noms et place des degrés dans les gammes tonales et modales ;
  • gammes enharmoniques ;
  • calcul des intervalles et leur qualifications ;
  • renversements d’intervalles ;
  • construction des accords ;
  • chiffrage des accords ;
  • transpositions :
    • changement de clé ;
    • instruments auto-transpositeurs ;
    • rapport des instruments entre eux.

Les images suivantes ne sont pas des photos mais des montages à partir des pdf de fabrication pour une meilleure lisibilité. J’en ai profité pour coloriser les différentes parties afin de mieux les distinguer :

  • la partie intérieure de la base (située sous la réglette ainsi que la partie graduée en cm sont grisées ;
  • la réglette est colorisée en jaune ;
  • le curseur est colorisé en bleu.
La règle avec sa règlette centrale positionnée sur la face Gammes et intervalles.

La règle avec sa réglette centrale positionnée sur la face Gammes et intervalles.

La règle avec sa réglette centrale positionnée sur la face Transposition.

La règle avec sa réglette centrale positionnée sur la face Transposition.

Le curseur - les parties grisées sont en réalité blanches et la partie blanche est transparente.

Le curseur – les parties grisées sont en réalité blanches et la partie blanche est transparente.

Dans sa partie haute le curseur présente la légende des quatre échelles supérieures de la règle.Dans sa partie basse les clés et lignes de portées positionnées relativement les unes par rapport aux autres, les trois principales sont en noir, les autres en couleur.

Les échelles

Outre une échelle graduée en cm située dans la partie supérieure de la règle, on trouvera sur la réglette supérieure :

  • l’échelle des armures (avec les correspondances pour les gammes enharmoniques) ;
  • le nom des gammes majeures correspondantes ;
  • le nom des gammes mineures relatives aux précédentes ;
  • le nom de la sensible entre parenthèses.

Cartronex-RM1-phase-3

La réglette inférieure présente trois échelles :

  • une échelle nommée Note écrite ;
  • une échelle des armures des gammes majeures et mineures correspondant à cette note ;
  • une portée à 11 lignes contenant toutes les notes correspondant à la note écrite, permettant leur lecture directe dans toutes les octaves et toutes les clés à l’aide de la partie inférieure du curseur.

Cartronex-RM1-phase-6

Cette dernière échelle, la portée de 11 lignes, pourra sembler superflue à des musiciens avertis, mais il me semble important de donner à des néophytes la possibilité d’acquérir des habitudes visuelles.
L’échelle Note écrite présente les caractéristiques suivantes :

  • les notes non altérées sont écrites en noir sur fond blanc,les notes altérées sont affichées en négatif ;
  • tous les noms possibles pour une même note sont indiqués (Ré♯, Mi♭ et Fa♭♭ par exemple) ;
  • dans l’exemple précédent le Ré♯ et le Mi♭ sont écrits en gras, le premier en haut à gauche de la case, le second en bas et à droite, et le Fa♭♭ est écrit en italique dans l’espace restant.

L’échelle des armures est divisée en deux parties : celle de gauche indique les armures des gammes majeures et celle de droite des gammes mineures. Les mentions Arm. Maj. et Arm. Min. situées aux deux extrémités rappellent la typographie des indications d’armures.
La face Gammes et Intervalles de la réglette centrale se divise en deux parties, chacune comportant plusieurs échelles.

Cartronex-RM1-phase-4

La partie gauche, dédiée aux gammes comporte cinq échelles indiquant l’emplacement des degrés et leurs noms :

  • les deux échelles inférieures, les plus proches de l’échelle Note écrite, sont dédiées aux gammes majeurs et mineures donc à la musique tonale ;
  • ces échelles contiennent en outre des indications chiffrées placées à la suite du nom du degré utilisées pour la composition des accords ;
  • les échelles supérieures sont dédiées aux différents modes indiqués à la fois par leur nom et le nom de la note du mode (Ré et Phrygien par exemple).

La partie droite dédiée aux intervalles comprend également 7 échelles qui seront présentées en partant du bas (le plus près de l’échelle Note écrite) :

  • la première échelle (sur deux lignes) donne le nom de l’intervalle à partir de la première case de l’échelle, la typographie utilisée étant celle donnée dans l’aide-mémoire situé sous la réglette (voir ci-après) et permettant d’identifier immédiatement la consonance de l’intervalle ;
  • l’échelle suivante donne le nombre de tons et demi-tons de l’intervalle ;
  • l’échelle centrale indique dans quels accords ces intervalles interviennent ;
  • les deux échelles supérieures correspondent aux deux inférieures mais sont renversées et s’utilisent pour le calcul des intervalles décroissants.

L’autre face de la réglette centrale est utilisée pour les transpositions. Elle comprend 3 échelles :

  • en haut la tonalité de l’instrument (cette échelle est redondante avec l’échelle du bas et sera donc remplacée par d’autres indications dans une future version ;
  • au centre le nom de tous les instruments (courants) correspondants, avec éventuellement l’indication de la clé à utiliser et du décalage d’octaves ;
  • en bas une échelle nommée Note jouée donc la présentation est quasiment identique à l’échelle Note écrite, mais sans les indications de noms avec double altération.

Cartronex-RM1-phase-5

Les aides-mémoire

De plus un certain nombre d’aides-mémoire sont présents sur la règle, une partie au verso sur la réglette supérieure :

  • le rappel des correspondances entre l’armure et la tonalité ;
  • le calcul du relatif mineur ;
  • le calcul de la sensible.
  • Sous la réglette centrale on trouve :
  • le nom des notes dans les langues suivantes : Français, Italien et Espagnol, Anglais et Allemand ;
  • les figures des notes et silences ;
  • les figures des altérations ;
  • l’ordre des dièses et des bémols ;
  • la position des altérations à l’armure des différentes clés ;
  • le nom et la représentation des intervalles simples et redoublés ;
  • la qualification des intervalles et leurs consonances, avec le rappel des différentes typographies utilisées sur la réglette afin de distinguer celles-ci ;

Cartronex-RM1_base

L’autre partie se trouve au verso de la règle :

  • la composition des principaux accords ;
  • le chiffrage des accords ;
  • les cadences, leur mode de calcul et leurs enchaînements ;
  • la notation des principaux ornements et leur effet ;
  • les mouvements et leurs équivalences approximatives avec le métronome ;
  • les nuances ;
  • les relations entre le tempo et la durée d’un morceau ;
  • les valeurs utilisées pour la composition des métriques simples et composées.

Cartronex-RM1_verso

Fabrication

Les fournitures

La liste des fournitures nécessaire est :

  • une plaque de carton fort (27 x 27 cm, 1025 g/m²) ;
  • de l’adhésif transparent (27 x 16 cm) ;
  • de la colle forte en aérosol et en tube ;
  • de l’adhésif transparent pour imprimante ;
  • de l’adhésif blanc (un simple morceau d’adhésif électrique suffit) ;
  • un couvercle de boîtier de CD, de préférence avec trois ergots de fixation de la jaquette (voir photo ci-dessous) qui peut éventuellement être cassé, seule une partie est utilisée ;
  • une boite de mines de critérium 0,5 mm transparente si possible (ATTENTION : c’est la hauteur intérieure qui compte, il faut pouvoir y glisser une épaisseur de carton et une de plastique de boîtier, soit 4 mm – voir autres explications plus bas) ;
  • une feuille de feutrine (31 x 24 cm) pour l’étui, qui n’est pas obligatoire.

En ce qui concerne le collage je n’ai pas tenté mais je pense qu’il serait sans doute possible d’utiliser de la colle Décopatch, qui permettrait en outre de vernir le dessus, et éviterait l’adhésif. À tester !

Le matériel

Pour le matériel, c’est très simple :

  • un cutter ;
  • une scie à métaux ;
  • éventuellement un massicot, pour couper le carton c’est plus facile.

Préparation

Imprimer les deux pages du fichier Cartronex-RM1.pdf sur du papier A4, de préférence avec une imprimante laser pour une meilleure définition.

Cartronex-RM1-recto-bigCartronex-RM1-verso-big

Toutes les instructions de montage contenues dans ce document sont reprises quasiment à l’identique ci-dessous, ne vous abîmez pas les yeux à essayer de les lire… Vous pouvez si vous le souhaitez afficher le document au format pdf en cliquant sur une des images, ce qui vous permettra de zommer.

J’avais initialement prévu de faire des photos des différentes étapes de la construction, dès que j’aurais un moment. Mais finalement les montages photo réalisés avec Gimp à partir de mes pdf et d’un scan de boîtier sont assez satisfaisants, je laisse comme ça.

Couper la partie supérieure de la première page au-dessus des graduations (la marge est normalement de 1 cm) et sous la portée à l’alignement des traits verticaux encadrant la portée, ceci afin d’éliminer la marge supérieure de la page et le texte de la licence qui se trouve en partie inférieure. La partie restante devrait faire 12.5 cm. Coller sur la partie haute du carton en alignant bien avec le bord de celui-ci, de préférence avec une colle aérosol pour une meilleure précision dans l’adhésion et une moindre surépaisseur.

Cartronex-RM1-phase-1

Découper le carton ainsi :

Base : 5,7 cm (du haut des graduations au bas de la zone grisée, ou au haut du logo Cartronex) ;

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Réglette supérieure fixe (RS) : 1 cm (la partie qui comprend le logo Cartronex) qui sera collée sur la base par l’intermédiaire de deux rehausses RS1 et RS2 ;

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Réglette centrale face Modes et intervalles (RCG) : 1,7 cm (entre les lignes do min. et Tonalité, les séparations verticales des intervalles peuvent aider) ;

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Réglette centrale face Transposition (RCT) : 1,7 cm également (sous la ligne Note jouée et au ras des pavés noirs) ;

Cartronex-RM1-phase-5

Réglette inférieure fixe (RI) : 2,4 cm (sous les lignes verticales des extrémités) qui sera collée sur la base par l’intermédiaire de deux rehausses RI1 et RI2 ;

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Verso de la base : couper la partie supérieure de la page 2 du pdf à l’alignement des séparations verticales (27 x 5,7 cm) et la coller ensuite sur l’envers de la base en tenant compte du sens de retournement de la règle en cours d’utilisation, de façon à avoir spontanément le verso lisible. On peut préférer retourner sa règle de haut en bas, ou de gauche à droite.

Cartronex-RM1-phase-7

Les parties suivantes sont à découper dans le reste du carton, toujours à la largeur de 27 cm et aux hauteurs suivantes ;

Rehausse basse de la partie supérieure RS1 : 1cm ;
Rehausse médiane de la partie supérieure RS2 : 0.6 cm ;
Rehausse basse de la partie inférieure RI1 : 2.4 cm ;
Rehausse médiane de la partie inférieure RI2 : 1.9 cm ;
Partie centrale de la réglette (RC) : 2 cm ce qui laissera un jeu fonctionnel de 1 mm entre RS2 et RI2.

N’hésitez pas à écrire sur les parties qui seront collées les codes des différentes parties (RCx ou RSx) pour mieux vous y retrouver pendant le montage.
Les bandes fines auront probablement tendance à vriller à la découpe, il faudra donc utiliser un guide pour les coller de façon parfaitement rectiligne.
Poser de l’adhésif transparent sur toutes les parties imprimées, sauf bien évidemment sur les plages grisées portant la mention Coller ici… de la base recto.

Montage de la règle

Sur les illustrations ci-dessous les traits rouges représentent la colle.
Encoller la partie grisée inférieure de la base (avec de la colle en tube) et y placer la rehausse basse RI1 en calant la base et la rehausse contre une règle afin que les deux bords soient bien alignés.

MontageRegle-1

Mettre sous presse le temps du séchage (de simples pinces à linge suffisent).
Placer une des faces de la réglette centrale (RCG ou RCT) sur la partie où se trouvent les aides-mémoire de la base.
Coller la rehausse RS1 dans la partie grisée supérieure de la base, mettre sous presse. La face de la réglette centrale doit normalement coulisser juste entre les deux rehausse.
Avant la fin du séchage de la colle, retirer la face de la réglette centrale et vérifier que l’autre face coulissera bien aussi, sinon ajuster le positionnement de la rehausse.

MontageRegle-2

À ce stade on a les deux rehausses médianes collées dans les parties grisées, et les deux faces de la réglette centrale pouvant librement coulisser entre celles-ci.
Coller la rehausse RS2 sur la rehausse RS1 en la centrant bien (sa place est indiquée par les deux traits horizontaux de la partie grisée qui est maintenant malheureusement recouverte) en utilisant au besoin la RI2 et la RC pour qu’elle soit bien rectiligne.
Coller ensuite la rehausse RI2 sur la RI1 en la centrant également (même remarque sur son emplacement, les deux traits horizontaux maintenant masqués).

MontageRegle-3

Placer une des faces RC1 ou RC2 de la réglette centrale sur la base entre les rehausses RS1 et RI1, partie imprimée vers le bas, et coller dessus la partie centrale de la réglette (RC) en la centrant sur les rehausses. Il devrait y avoir un jeu de 1 mm environ de part et d’autre entre RS2, RI2 et RC. Si ce n’est pas le cas, appelez vite Houston, vous avez un problème (inversion de rehausse probablement).

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Coller la réglette inférieure RI sur RI2 en utilisant à nouveau une règle pour bien aligner les bords.

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Après séchage placer la réglette centrale non terminée à son emplacement, partie imprimée sur le dessus, bien calée contre la réglette inférieure, puis coller la réglette supérieure RS contre la réglette centrale. Ne pas trop serrer, la réglette centrale doit pouvoir coulisser juste.

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Retourner la réglette centrale (attention au sens de retournement, haut/bas ou gauche/droite, puis coller la deuxième face.

MontageRegle-7

Vue de profil de la règle qui montre comment les différentes bandes de carton sont agencées ce qui permet à la réglette de coulisser dans la base.

Cartronex-RM1-details-1

Curseur

Dans un couvercle de CD couper un rectangle de 5 x 5,3 cm de façon à garder la partie claire de l’image ci-dessous : couper le rebord du couvercle à la scie à métaux, marquer l’endroit de la première découpe du dessus du couvercle de trois coups de cutter puis casser délicatement à la main. Faire de même pour les deux autres découpes. Raccourcir l’ergot sans rayer le plastique.

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Le boîtier avant découpe, avc en plus clair la partie à garder

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Le curseur brut

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L’ergot est raccourci

Imprimer le curseur sur de l’adhésif autocollant, recouvrir les parties grises avec de l’adhésif blanc. Dans les illustrations ci-dessous l’adhésif blanc apparaît après la pose de l’adhésif transparent pour des raisons de clarté mais d’un point de vue pratique il vaut mieux procéder de la façon indiquée.
Coller le tout sur l’intérieur du plastique (ergot en bas) en vérifiant l’alignement de la ligne du bas du curseur avec celle du bas de la portée de la règle. Attention le positionnement est assez délicat.

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L’adhésif non recouvert de blanc

L’adhésif recouvert de blanc

Le curseur retourné à l'endroit

Le curseur retourné à l’endroit

Dans une boite de mines de critérium de 0,5 mm couper à la scie à métaux deux tronçons de longueur28.45 1 cm, retirer un angle du côté inscriptions en gardant 2 mm d’un côté et les coller sur les coins supérieurs du curseur, la petite partie dans la rainure de la règle et la grande au-dessus des zones de texte, en vérifiant que le curseur coulisse correctement. Je n’ai pas trouvé de boite transparente, ce qui masque les zones de texte, c’est un peu dommage…

curseur-detail curseur-coin

L’étui à mines de critérium doit avoir une dimension interne d’environ 3.5 mm, afin de pouvoir être collé sur le dessus du curseur et englober également le haut de la réglette, comme on peut le voir sur la photo ci-dessus. Sur le dessin de droite on voit la découpe du boîtier (de profil) et les cotes sont de 12 mm en haut, et 4 en bas (hors tout) ce qui recouvre les 10 mm du haut de la règle et rentre de 2 mm dans la gorge de la règle. Malheureusement les dernières boites que j’ai achetées (de la marque Bic) n’ont pas la bonne dimension intérieure, trop faible, et pour l’instant je ne vois pas par quoi les remplacer. Avis aux bricoleurs ingénieux !

Le curseur vu du dessus, de dessous et de profil.

Cartronex-RM1-details-2 Cartronex-RM1-details-3 Cartronex-RM1-details-4

Notice

Imprimer les quatre pages de la notice (Cartronex-RM1-Notice.pdf) en recto-verso. Recouper au format 17 x 25 cm (l’impression est centrée, il faudra équilibrer les découpes), de façon à pouvoir la plier en quatre dans le sens de la longueur et la glisser dans l’étui. On peut éventuellement relier les deux feuilles entre elles avec de l’adhésif invisible, ce qui donne un aspect plus satisfaisant.

Étui

Le plus simple est d’en fabriquer un en feutrine. Couper trois bande de 8 cm (la longueur des carrés de feutrine du commerce est généralement de 31 cm), les deux premières formeront le dessus et le dessous de l’étui. Couper un morceau de 8 cm et un autre de 1 cm dans la troisième bande pour le rabat et son passant. Coudre le rabat à l’extrémité d’une bande puis tout coudre ensemble en positionnant le passant à 5 cm du haut. Recouper légèrement le rabat pour qu’il rentre bien dans le passant.

Utilisation

La notice

J’ai écrit une notice d’utilisation pour cette règle, qui parodie largement le style de celle de ma Graphoplex. Il faut donc lire cette notice en ayant présent à l’esprit cet aspect parodique, surtout pour les musiciens.
Cette notice est disponible au format Pdf.
En cours d’écriture : des exemples illustrés des différentes opérations possibles qui iront plus loin que la notice qui est malgré tout fort succincte, comme celles qui accompagnaient les Graphoplex.
Pour plus de clarté les exemples sont illustrés par des montages graphiques issus de mes pdf, donc la réglette sera colorée en jaune pâle pour bien la distinguer de la base, et le curseur en bleu pâle.

Position des notes sur la portée

Cette lecture se fait directement en plaçant la partie centrale du curseur (entre les deux traits noirs) sur la note de l’échelle Note écrite. On peut voir les notes de quatre octaves dans les diverses clés affichées sur la bonne ligne de chacune d’elles dans la partie inférieure du curseur.

Cette illustration sera utilisée pour les trois calculs qui suivent.

Cette illustration sera utilisée pour les trois calculs qui suivent.

Calcul de l’armure

Amener la partie centrale du curseur sur le nom de la note écrite (ne pas utiliser les noms comportant des doubles altérations). Utiliser la moitié gauche de l’échelle pour les gammes majeures, la moitié droite pour les gammes mineures. Lire la tonalité directement sur l’échelle des armures, juste en-dessous et à l’aplomb de la tonalité.
L’illustration ci-dessus montre que la gamme de Si Majeur a 5 dièses à la clé et celle de Do bémol majeur 7 bémols.
On peut également lire à droite de cette case que la gamme de Do (mais mineure cette fois-ci, on est passé dans la seconde moitié de l’échelle) est de 3 bémols, lesquels sont bien indiqués en italique et non en gras.
Enfin on peut voir aux deux extrémités de la réglette supérieure les aides-mémoire relatifs aux relations entre l’armure et la tonalité.

Gammes enharmoniques

Sur l’échelle des armures on peut remarquer 6 cases contenant deux indications d’altérations, par exemple 5♯ 7♭ comme sur l’illustration ci-dessus. Ces indications signifient que les deux gammes, Si Majeur et Do♭ Majeur (puisque nous sommes du côté majeur de l’échelle) sont enharmoniques. La lecture est directe. Du côté mineur on voit aussi sur l’illustration que la gamme de La # Mineur et celle de Si♭ Mineur sont également harmoniques.
Comme pour le calcul de l’armure il ne faut pas utiliser les noms de notes doublement altérées.

Tableau des tons voisins

Pour ce calcul on utilisera la partie supérieure du curseur.
Amener la partie centrale du curseur sur le nombre d’altérations voulues de l’échelle des armures (tout en haut). La lecture est directe.
La ligne du haut donne le nombre d’altérations, celle du dessous la tonalité de la gamme majeure, en-dessous on a celle de la gamme mineure puis enfin la sensible de cette gamme mineure entre parenthèses.

Nom et emplacement des degrés dans une gamme donnée

Utiliser la face Gammes et intervalles de la réglette centrale, partie gauche.
Amener le repère I de celle-ci au-dessus de la tonalité de la gamme (Ré♯ sur l’illustration) dans l’échelle Note écrite. Attention à bien positionner le repère sur le nom de gauche ou de droite dans le cas d’une note accentuée.

Cartronex-RM1_tuto-2

Amener le curseur au-dessus du numéro de degré recherché dans l’échelle de la tonalité voulue (le IV de la gamme majeure sur l’illustration) et lire le nom de la note à l’aplomb de ce repère sur l’échelle Note écrite, soit Sol♯ (et non La♭).
Le nom de ce degré est indiqué à la suite du repère, ici Sous-dominante.
Déplacer le curseur sans toucher à la réglette pour lire les autres degrés.
Les échelles des intervalles méritent d’être revus, ainsi que probablement l’échelle des notes écrites, car les calculs sur des notes avec altération double ne sont pas satisfaisant. Et même s’ils sont rares j’aimerais qu’ils soient tout aussi corrects que les autres.

Calculs d’intervalles ascendants

Utiliser la face Gammes et intervalles de la réglette centrale, partie droite.
Amener le repère ↓ (le nom de cet intervalle est l’unisson indique juste au-dessus de la flèche) de l’échelle des noms d’intervalles (celle du bas) au-dessus de la note de début (Ré♯ sur l’illustration) dans l’échelle Note écrite. Attention à bien positionner le repère sur le nom de gauche ou de droite dans le cas d’une note accentuée.

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Amener le curseur au-dessus de la note de fin de l’intervalle (toujours en respectant bien les altérations) et lire le nom de l’intervalle dans l’échelle correspondante. Utiliser l’aide-mémoire sous la réglette pour déterminer la consonance de l’intervalle d’après la typographie du nom.
Lire immédiatement au-dessus la valeur de l’intervalle en nombre de tons et demi-tons.

Calculs d’intervalles descendants

Procéder comme pour les intervalles ascendants mais utiliser la partie supérieure de la réglette. Le curseur sera donc placé à gauche et non à droite de la note de départ.

Renversement d’intervalles

C’est on ne peut plus simple : il suffit de passer de l’échelle supérieure à l’échelle inférieure de la réglette, ou inversement. Le nom de l’intervalle renversé est à l’aplomb de l’intervalle affiché.

Chiffrage des accords

Pour déterminer le degré d’un accord, placer le repère I de la partie Gammes au-dessus de la tonalité du morceau sur l’échelle Note écrite.

Positionner le curseur sur la basse de l’accord sur l’échelle Note écrite et lire son degré sur l’échelle majeure ou mineure selon la tonalité.
Sur l’illustration nous sommes en Ré Majeur, et on cherche le degré d’un accord commençant par un la, on constate que c’est un accord à la quinte, soit un accord de dominante, que l’on notera V.
Pour déterminer la composition d’un accord il faut déterminer quels sont les intervalles qui le constituent.
On placera donc le repère ↓ au-dessus de la première note de l’accord sur l’échelle Note écrite. On cherchera ensuite sur cette échelle la note suivante de l’accord et on lira la valeur de l’intervalle, puis la suivante etc.
On écrira ces chiffres du bas vers le haut en omettant les tierces, éventuellement les quintes justes et les octaves.

Accord Mi Sol Si : le Sol est une tierce, on ne l’écrit pas, le Si est une quinte, on l’écrit, le chiffrage est 5.
Accord Mi Sol Do : le repère ↓ est placé au-dessus du Mi, le sol est une tierce, on ne l’écrit pas, le do est une sixte, on l’écrit, le chiffrage est 6.
Accord Mi La Do : le La est une quarte, on l’écrit, le do est une sixte, on l’écrit aussi, le chiffrage sera donc 4 6.
Amélioration prévue : ajouter les symboles annexes.

Transposition de notes

Ou devrais-je dire changement de clé ?
Comme indiqué plus haut, il suffit d’afficher une note sous la partie centrale inférieure du curseur pour visualiser instantanément sa position sur la portée pour toutes les clés et ce sur quatre octaves. Dès lors il suffit de recopier la note sur la bonne ligne ou interligne.

Instruments auto-transpositeurs

Utiliser la face Transposition de la réglette centrale.
Sélectionner la tonalité de l’instrument auto-transpositeur et la positionner à l’aplomb du do central de l’échelle Note écrite. Il se peut que pour certains instruments ou certaines tonalité il faille préférer un des do extrêmes.
Il est aussi possible de choisir l’instrument par son nom, et d’aligner le trait vertical situé à sa gauche avec le do central, comme la clarinette basse sur l’illustration.

Cartronex-RM1_tuto-4

Détermination de l’armure : amener la partie centrale du curseur sur la tonalité du morceau sur l’échelle Note jouée. Dans l’exemple le morceau est en tonalité de Ré Majeur, et on lit en dessous sur l’échelle Note écrite la tonalité dans laquelle il faudra écrire la partition de la clarinette, Mi Majeur, soient 4 dièses à la clé (que l’on lit directement en-dessous, sur l’échelle des armatures.
Écriture de la partition : sans bouger la réglette (sauf pou changer de do) toutes les notes à écrire seront à l’aplomb des notes jouées, avec un peu d’habitude il n’y a même pas besoin d’utiliser le curseur.

Relation Tempo/Durée

C’est un calcul que j’ai envie d’intégrer et qui est pour l’instant expliqué dans la section Aller plus loin, en bas de page.

Versions et téléchargement

Licence

Mon engagement pour les logiciels libres m’a amené à placer cette règle sous licence Creative Commons BY-NC-SA, pour que chacun puisse la fabriquer et l’utiliser librement.

Contenu du ZIP

La Cartronex est disponible uniquement en version numérique, et comprend les fichiers suivants :
Cartronex-RM1n.pdf (n étant le numéro de la version) : deux pages à imprimer et à coller sur carton pour se fabriquer sa propre règle, avec les indications de fabrication ;

  • Cartronex-RM1-Notice.pdf : la notice d’utilisation ;
  • Cartronex-RM1-Curseur-complet.png : le fichier image servant à fabriquer le curseur complet ;
  • Cartronex-RM1-Curseur-simple.png : le fichier image servant à fabriquer le curseur simplifié (seules les trois clés les plus courantes y sont présentes) ;
  • Cartronex-RM1-Licence.pdf : le texte intégral de la licence.

Utilisez les liens ci-dessous pour télécharger la Cartronex.

Évolutions

Le contenu de cet article évolue en même temps que les versions de la règle, et bien entendu les illustrations aussi.

Version 1.a – Septembre 2014

Nouvelle version du curseur plus lisible.
Amélioration des explications de la notice et des instructions de montage
Corrections de bugs d’export pdf dans les différents documents.
Correction de quelques erreurs typographiques et fautes d’orthographe.
Télécharger la version 1a

Version 1 – 2009

Première version de la Cartronex RM1.
Télécharger la version 1

Aller plus loin

Ce premier essai devrait être amélioré au fil de ma progression en théorie musicale, notamment en ce qui concerne les règles d’harmonisation et d’écriture. Je suis notamment peu satisfait de la partie Construction des accords, j’aimerais faire plus simple mais je commence à manquer de place, alors que par ailleurs du côté Gammes j’ai plein de vide…
Il y a donc fort à parier qu’il y aura une RM2 en chantier un jour… Avec, une idée qui me tente bien, un nouveau jeu de réglette et curseur pour faire autre chose… Ou encore la suppression de la partie graduée en cm (que j’ai mise pour faire comme une Electric-log-log mais qui n’a aucune raison objective d’exister) de façon à pouvoir mettre un curseur des deux côtés, pourquoi pas… Bien que je reste attaché à la règle posée sur la table avec une unique réglette centrale qu’on retourne éventuellement, et un unique curseur. La fenêtre au verso permettant de caler une échelle donnée sans retourner la réglette peut avoir ses avantages mais complique l’utilisation et d’ailleurs les modèles évolués de Graphoplex n’en avaient plus (à ma connaissance en tout cas).
Quoiqu’il en soit, voici la liste de ce qui ne marche pas vraiment bien (bug n’est peut-être pas le terme le mieux adapté mais il a le mérite de faire un titre court) et ce qui pourrait être fait, puis les évolutions de la Cartronex.

Bugs et améliorations à prévoir

Le calcul des intervalles présente des lacunes pour les notes avec doubles altérations. De façon générale la position de ces notes doublement altérées sur les échelles des notes écrites est peu satisfaisante et mérite d’être repensée de façon plus « géographique ».
La construction et chiffrage des accords pourrait être nettement amélioré, ces calculs sont pour l’instant peu accessibles, faut-il une nouvelle réglette centrale, un nouveau curseur ?
Transformation de certains aides-mémoire du verso (notamment les relations Mouvement/Tempo, Nuances) en échelle linéaire, ce qui serait nettement plus adapté à une logique de règle.
Les notations des ornements pourraient aussi s’écrire sur une seule ligne, dans la même logique que les points précédents.
Intégration des exemples illustrés dans la notice, tout en respectant l’aspect parodique.
Fabrication : garder la possibilité de fabrication à base de matériaux simples (carton, boîtier de CD) mais parallèlement envisager une fabrication plus robuste et élaborée (bois et métal). La partie la plus délicate à faire étant l’usinage du bois mais pouvant se faire sur de grandes longueurs une fois que tout est bien réglé, pourquoi ne pas envisager la vente à prix modique d’un kit « Do It Yourself » comprenant également les documents imprimés en qualité laser haute définition ?

Autres évolutions possibles

La face Transposition de la réglette centrale contient beaucoup de noms d’instruments qui pourraient sans problème être relégués au verso de la règle sous forme d’aide-mémoire, ce qui libérerait une place énorme, et en contrepartie certains aides-mémoire seraient intégrés dans les réglettes. Il suffirait de placer l’échelle Note jouée sous les gammes et intervalles.
La partie « Lecture directe des notes » dans le bas de la règle pourrait être diminué de moitié, les informations étant dupliquées sur les deux octaves.
Si la face Transposition de la réglette centrale devient disponible, je peux y mettre dans une moitié la partie « Lecture directe des notes », à laquelle je tiens, quitte à modifier le curseur en conséquence, et l’autre moitié devient libre pour une partie « Construction et chiffrage d’accords ».
Si la réglette inférieure ne contient plus la partie « Lecture directe des notes » sa taille peut être revue à la baisse et la réglette centrale agrandie, ce qui permet d’intégrer de nouvelles échelles, dont celles liées au tempo (voir ci-dessous).
Le curseur pourrait être simplifié (suppression des clés inusitées). Les deux modèles (voire plus) seraient disponibles, chacun pouvant choisir d’imprimer celui qui lui plaît.

Relation tempo/durée/métrique

Il s’agit d’une notion qui redevient purement mathématique et j’aimerais vraiment l’intégrer à la Cartronex, mais d’une façon totalement transparente, or il y a un certain nombre de paramètres inhérents à ce calcul qui compliquent les choses (mais si je n’aimais pas les défis je n’aurais jamais imaginé la Cartronex).
Le calcul le plus fréquent sera de déterminer la durée d’un morceau (notée D), même si on peut aussi avoir à ajuster le tempo pour coller à un temps donné, pour une musique de film par exemple. Ce sera donc la base de départ de ma réflexion.
Tout d’abord un petit rappel des faits pour les non musiciens :

  • un morceau de musique comprend un nombre défini de mesures (noté M), dont la structure rythmique est définie par une « métrique » (4/4 ou 6/8 par exemple) qui indique au numérateur combien de temps (« unités rythmiques ») la mesure contient et au dénominateur la valeur de cette « unité rythmique » ;
  • il y a également normalement une indication de tempo (le réglage du métronome) qui peut être numérique ou littérale (mais dans ce cas la Cartronex contient un tableau de correspondance vers les valeurs numériques) et qui sera noté To ;
  • lorsque l’indication est numérique elle est généralement du style ♩=110 ou ♪=80, et correspond normalement à la valeur de l’unité rythmique (la noire vaut 4 et la croche 8) une métrique en 4/4 aura une indication de tempo de type ♩=110 et le 4/8 ♪=80 ;
  • l’indication de tempo peut cependant ne pas correspondre à la métrique, et on trouve notamment des partitions écrites par exemple en 12/8 dont l’indication métronomique sera relative à la noire pointée (et non la croche) soit par exemple ♪.=80, et dans ce cas il n’y aura que 4 et non 12 unités par mesure – il vaudra donc mieux parler d’unité métronomique (qui sera notée uM) et non rythmique, et cette conversion (très simple) sera à faire préalablement au calcul par l’utilisateur ;
  • l’indication métronomique du tempo est la suivante : le nombre indique combien il y a de notes dont la figure est représentée dans une minute, donc ♩=120 indique par exemple qu’il y a 120 noires par minute ce qui revient à dire qu’une noire dure 1/120 de minute, soit 60/120 donc une demi-seconde ;
  • la formule de calcul est donc la suivante : D = M x uM x 60 / To (au facteur fixe 60 près, c’est une simple règle de trois) ;
    et pour finir, les valeurs de tempo se situent entre 40 et 208.

Maintenant, comment adapter ça à une logique de règle à calcul ? On pourrait envisager de tout simplement intégrer deux échelles logarithmiques ordinaires et donner les formules à appliquer mais ce serait trop simpliste… Il me semble plus gratifiant d’imaginer de simplifier les calculs afin d’avoir la lecture directe des données sur des échelles correctement dimensionnées. Voici le raisonnement que j’ai suivi.
Tout d’abord, l’utilisateur d’une Cartronex n’étant a priori pas familier avec l’usage d’une règle à calcul(er), je tiens à lui faciliter les choses : les graduations seront conçues afin d’éviter au maximum les décalages d’origine de la réglette et les ajustements de puissance de 10, quitte à multiplier les graduations :

  • l’échelle des tempo devant comprendre des graduations de 40 à 208, on utilisera une échelle de type X², mais graduée de 10 à 1000 (et non de 1 à 100) afin d’avoir une lecture directe de celui-ci ;
  • l’échelle des mesures doit également être graduée de 10 à 1000, il n’y a aucun intérêt à calculer la durée d’un morceau de moins de 10 mesures, et même dans ce cas le calcul reste faisable, il suffira de diviser le résultat par 10 ;
  • il est cependant judicieux de dupliquer l’échelle des mesures avec une échelle de 1 à 100, ce qui permet d’éviter des translations de réglette au cas où le nombre de mesures tomberait en dehors de la règle ;
  • l’échelle de la durée doit également être graduée de 10 à 1000 secondes mais il est judicieux de l’écrire sous forme de minutes et secondes, mais il ne faut pas faire d’illusions, la précision deviendra très faible à partir de 10 minutes, ce qui suffit largement pour une chanson, pas pour un opéra ;
  • le nombre de temps (ou unités métronomiques) par mesure étant par contre normalement de l’ordre de l’unité, voire de la dizaine, l’échelle devra être graduée de 1 à 100.

Réglons tout d’abord le cas de cette multiplication par 60 :

  • il est intéressant d’intégrer cette multiplication « en dur » au moyen d’un repère situé sur le curseur  ;
  • la distance de 1 à 60 sur l’échelle X² est énorme mais celle de 100 à 60 tout à fait raisonnable, et tient parfaitement dans le curseur, on utilisera donc celle-ci mais il faudra tenir compte du fait que la multiplication ne se fera plus que par 6 et non 60 d’une part, et d’autre part que le repère de départ sera à droite et celui d’arrivée à gauche ;
  • il faut donc que cette multiplication « en reculant » ne puisse sortir des limites de la règle, ce qui est le cas puisqu’aucune mesure ne peut contenir moins de deux temps, et que la distance entre 1 et 2 est supérieure à celle entre 60 et 100 sur une échelle X² ;
  • conséquence logique : il faut que l’échelle de départ du calcul soit graduée de 1 à 100 et non de 10 à 1000, ce qui impose l’unité métronomique comme multiplicande (point de départ du calcul).

L’opération (uM x 60) est maintenant effectuée sans aucun déplacement, elle sera donc notée entre parenthèses.
Par ailleurs, la meilleure façon de calculer une règle de trois est de commencer par la division puis effectuer ensuite la multiplication, car on élimine ainsi le positionnement de l’origine de la réglette. Donc la formule peut maintenant s’écrire (dans l’ordre des opérations) D = (uM x 60) / To x M.
Petite explication pour les non familiers de la règle à calcul(er) :

  • les échelles situées sur une règle sont logarithmiques, ce qui permet, sans entrer dans de tortueux détails mathématiques, de transformer une multiplication en addition et une division en soustraction ;
  • pour multiplier on ajoute deux longueurs de règle, et pour diviser on retranche ;
  • pour enchaîner division et multiplication on commence par diviser, c’est à dire placer le curseur sur le multiplicande sur l’échelle fixe, puis on déplace la réglette mobile pour placer le diviseur sous le curseur, la graduation 1 de cette réglette sera alors face au résultat de la division sur l’échelle fixe ;
  • il suffit alors de repartir de cette valeur et lui ajouter la longueur correspondant au multiplicateur, ce qui se fait très simplement en déplaçant le curseur jusqu’à cette valeur sur l’échelle mobile, et le résultat se trouve une nouvelle fois sur l’échelle fixe.

Le diviseur et le multiplicateur devront par conséquent se trouver sur l’échelle mobile. Pour le tempo, seule les graduations de 10 à 100 seront utilisées, mais pour le nombre de mesures, l’une ou l’autre des échelles pourra être utilisée, et uniquement sur une des moitiés mais je laisse le soin au lecteur de comprendre laquelle et pourquoi, je n’ai pas le temps actuellement de développer. Avis aux fins limiers de la RàC !

Récapitulons (avec une simulation graphique c’est plus parlant) :

  • Placer le repère rouge de droite du curseur (j’ai fait ces repères très gros pour qu’ils soient bien visibles, ce ne serait pas de cas sur le pdf de fabrication) sur la valeur de l’unité métronomique de l’échelle uM (image de gauche), puis déplacer la réglette pour afficher le tempo sous le repère gauche du curseur (image du milieu). Ici j’ai choisi d’avoir 4 unités métronomiques par mesure (une mesure à quatre temps, ou 12/8, ou…) et un tempo de 120. Pour les forts en calcul mental, ça nous fait une mesure qui dure 2 secondes.
  • Puis sans bouger la réglette, déplacer le repère gauche du curseur vers la valeur du nombre de mesure sur cette réglette, et on lit la durée sur l’échelle fixe D (image de droite).Pour cette lecture n’importe quel repère peut être utilisé, donc on va prendre ici les plus lisibles, les deux repères noirs encadrant normalement le nom d’une note. Celui de gauche, face à la valeur de 64 mesures, donne une durée de 2 minutes et 8 secondes, ce que les forts en calcul mental ne pourront qu’approuver. Et le repère de droite donne pour 77 mesures une durée de 2’34 ». Toujours correct.
  • Si je veux que mes 64 mesures ne durent que deux minutes, il me faut calculer une nouvelle valeur de tempo. C’est aussi simple que ci-dessus mais on procède à l’envers : j’affiche la valeur 64 en face de 2′, je décale le curseur pour afficher 4 unités métronomiques sous le repère de droite, et sous le repère de gauche je lis la nouvelle valeur du tempo : 128.

Et maintenant il ne me reste plus qu’à fabriquer un nouveau pdf pour la RM2 !

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