Règle à calculer musicale : la RM2

Introduction

Suite à quelques réactions de musiciens de la liste de discussion Lilypond, j’ai eu envie de faire un peu évoluer le concept de ma règle à calculer musicale, en ajoutant notamment deux échelles logarithmiques comme décrit en fin de l’article sur la RM1.

Une autre demande était que je puisse fabriquer cette règle et non plus proposer un simple kit DIY, et de préférence en plastique. Il se trouve que c’est envisageable, de telles matières existent, que ce soit dans le domaine du modélisme ou de la signalétique, je veux parler des plaques de PVC ou de Styrène, lesquelles existent même en transparent, ce qui ouvre de nouveaux horizons.

Le nouveau modèle restera cependant fabriquable en carton, mais sera légèrement plus complexe à réaliser.

Mais commençons à parler de ce qui vous intéresse le plus, les fonctionnalités et l’aspect général.

Fonctionnalités

Comme expliqué ci-dessus, non seulement le curseur, mais également la base de la règle est prévue pour être transparente. Ceci permet d’accéder à de nouveaux calculs en retournant la règle et non plus la réglette. Ce qui veut dire que ces calculs ne bénéficient pas d’un curseur, ou plutôt que la base elle-même devient un curseur géant.

Les calculs possibles sur la RM1 restent essentiellement les mêmes :

• lecture directe de n’importe quelle note dans n’importe quelle clé, sur quatre octaves ;
• calcul des armures ;
• tableaux des tons voisins ;
• noms et place des degrés dans les gammes tonales et modales ;
• gammes enharmoniques ;
• calcul des intervalles et leur qualifications ;
• renversements d’intervalles ;
• construction des accords ;
• chiffrage des accords ;
• transpositions :
  • changement de clé ;
  • instruments auto-transpositeurs ;
  • rapport des instruments entre eux.

La construction des accords est maintenant en lecture directe, ainsi que toutes les gammes de tous les modes, sur le revers de la règle. Et le tableau des tons voisins se trouve également au revers, ce qui a laissé de la place à l’avers pour un nouveau calcul : la relation entre le tempo et la durée d’un morceau. Cependant, restons modeste, si l’outil est très efficace (à la seconde près) pour une chanson de quelques minutes, ce ne sera pas la peine d’essayer de calculer la durée d’un opéra…

La partie instruments auto-transpositeurs a été également repensée :

• les instruments ne sont plus affichés sur la réglette, classés par tonalité (ce qui rendait leur recherche difficile) mais dans un aide-mémoire où ils sont maintenant classés par famille ;
• une fois qu’on a trouvé la tonalité de l’instrument, il suffit de partir de celle-ci pour effectuer les calculs – on ne calcule plus pour un instrument mais une tonalité.

Présentation de la règle

Les images qui suivent ne représentent pas une vraie règle mais une simulation dans un logiciel graphique. J’ai donc colorisé quelques parties pour que l’on puisse bien les distinguer :

• la partie supérieure graduée en cm a été légèrement grisée pour simuler un ombrage dû au fait qu’elle se trouve en arrière par rapport à la face de la règle ;
• le curseur a été bleuté pour simuler sa transparence.

La base (avers)

Sur la partie supérieure de l’avers on trouve :

• une échelle graduée en centimètres, qui permet d’utiliser la Cartronex non seulement pour tracer des traits mais aussi pour mesurer, comme une règle ordinaire ;
• une échelle logarithmique, qui pourra servir à effectuer les calculs courants que l’on peut effectuer avec une règle à calculer numérique, mais également à calculer les relations tempo / nombre de mesures / durée du morceau.

Dans la partie inférieure on trouve :

• une échelle ✎ (correspondant aux notes écrites) comportant deux octaves complètes, afin qu’il ne soit pas besoin de déplacer le zéro relatif de la réglette en cours de calcul ;
• la représentation graphique des notes situées sur l’échelle ✎ sur les trois ou quatre octaves où on sera susceptible de les rencontrer, sans leurs altérations éventuelles.

Dans la partie centrale située sous la réglette, se trouvent quelques aides-mémoires :

• dans la partie supérieure les figures de notes et silences, les signes d’interprétation, les point d’orgue, les métriques, etc. ;
• dans la partie inférieure, un tableau récapitulant tous les instruments auto-transpositeurs, avec leur tonalité et leur intervalle par rapport au do ;
• au centre, un code barre de personnalisation (représentant votre nom au format 128B), faisant de votre règle un modèle unique et par conséquent difficile à voler, sauf à l’endommager .

La base (revers)

Au revers de la base, on trouve dans la partie supérieure :

• à gauche un aide-mémoire sur la notation des principaux ornements et leur effet ;
• au centre un aide mémoire sur les altérations, leur ordre, leurs figures, leur positionnement, et un tableau des tons voisins, où on peut faire défiler toutes les tonalités en coulissant la réglette ;
• à droite un aide-mémoire sur le chiffrage des accords, et le calcul des cadences.

Dans la partie médiane on trouve :

• à gauche un tableau permettant la lecture directe des gammes dans toutes les tonalités et modes ;
• à droite un autre tableau donnant la construction des principaux accords.

Dans la partie inférieure on trouve un aide-mémoire sur :

• les mouvements et leurs équivalences approximatives avec le métronome ;
• un rappel des indications de nuances et de modifications de tempo.

La réglette mobile (avers)

Les indications de l’avers sont prévues pour être utilisées avec le curseur :

• dans la partie située sous la base (grisée sur l’image), un aide-mémoire sur la nature des intervalles simples et redoublés, ainsi que la répétition du code-barre ;
• une échelle logarithmique faisant pendant à celle de la base ;
• une échelle à quatre lignes permettant de déterminer la nature des intervalles entre les différents degrés d’une gamme et leurs renversements, ainsi que le nombre de tons et demi-tons les composant respectivement ;
• deux échelles D° permettant la lecture directe du nom des degrés de la gamme dans la partie gauche, ainsi que le nombre d’altérations à l’armure pour chacune de celles-ci dans la partie droite ;
• une échelle ✋ (correspondant aux notes jouées) qui est le reflet de l’échelle ✎ ;
• dans la seconde partie située sous la base (grisée également sur l’image), un aide-mémoire sur la qualification et la consonance des intervalles, avec le rappel des différentes typographies utilisées sur la réglette afin de les distinguer, encadrant votre nom écrit en clair et vous désignant comme le propriétaire de la règle.

La réglette mobile (revers)

Ces indications sont prévues pour être lues dans les fenêtres du revers de la base :

• un défilé panoramique des tableaux des tons voisins, lequel sera fort opportunément cadré de façon idoine par le revers de la base ;
• à gauche de celui-ci, un aide-mémoire sur le nom des notes dans différents pays ;
• à droite de celui-ci, un résumé des méthodes permettant le passage de la tonalité à l’armure (et réciproquement), ainsi que celles permettant de déterminer les gammes relatives et la sensible des gammes mineures.

Le curseur

Dans sa partie supérieure il permet d’effectuer les calculs logarithmiques et de tempo.
Dans sa partie médiane il comprend simplement deux traits verticaux permettant d’aligner facilement les notes de la réglette mobile avec celles de la base.
Dans sa partie inférieure il permet de visualiser facilement les différentes positions possibles d’une note dans les trois clés principales, ainsi que les octaves correspondant à ces positions grâce à des repères de couleur.

Présentation des évolutions

Les matériaux

Après quelques échanges de mails sur la liste citée plus haut et quelques heures de cogitations et de surf sur la toile, j’ai dans un premier temps pensé à utiliser du PVC, que l’on peut acheter pour des tarifs assez raisonnables en plaques de diverses épaisseurs. Et un jour en suivant mon fils dans un magasin de modélisme j’ai découvert les plaques de Styrène, qui ont les caractéristiques requises :

• facile à usiner (se coupe au cutter) ;
• très facile à coller (prise très rapide, plus que du bois) ;
• rigidité et poids parfaitement adaptés ;
• aspect très convaincant par rapport à une vraie règle
• existe en blanc mais aussi en transparent.

Le PVC est plus vendu en grandes plaques, et est plus délicat à découper mais peut facilement s’usiner, se fraiser etc. Le styrène se vend à l’unité en magasin de modélisme, et est plus facile à découper, mais ne peut s’usiner. Donc a priori le premier serait adapté pour des petites séries et le second pour la fabrication maison.

Par contre quel que soit le matériau, plus question de coller du papier dessus, donc pourquoi il faut passer à du tout adhésif. Je peux imprimer ça facilement, mais pour des raisons de résistance au frottement et surtout de précision de l’impression, il est clair qu’une impression laser s’impose. Comme tout le monde n’a pas la possibilité de réaliser une telle impression chez soi, et qu’il est difficile de trouver de l’adhésif pour imprimante laser, la solution est de faire réaliser cette impression par un professionnel.

Donc autant en profiter et ajouter de la couleur. Ce n’est pas seulement pour faire joli, mais ça permet d’ajouter des informations sans nécessiter de place supplémentaire : un intervalle dissonant sera écrit en rouge par exemple.  Mais surtout, comme la base est transparente mais pas intégralement, et que l’encre blanche n’existe pas à ma connaissance en impression laser, il faut bien mettre de la couleur pour opacifier les parties qui le nécessitent.

Les changements

J’avais envie d’améliorer la partie accords, de façon à avoir en lecture directe n’importe quel accord en n’importe quelle tonalité, donc il fallait trouver de la place, sans rien sacrifier. Un internaute m’a suggéré un curseur enveloppant, mais je veux pouvoir poser ma règle à plat sur mon bureau et tirer un trait avec… Prévoir une deuxième réglette était aussi une solution mais peu pratique. Il m’est apparu indispensable de tout reprendre à zéro :

• les aides-mémoire n’ont été mis là que pour combler de l’espace vide, je les oublie et je remettrai à la fin ce que je peux là où il reste de la place ;
• l’emploi de la couleur permet de condenser les informations tout en les gardant lisibles ;
• je veux rajouter un espace calcul pur, sans retournement de réglette, qui servira notamment au calcul durée/tempo ;
• il est intéressant d’avoir les échelles note écrite et jouée en « face avant », sans retournement comme actuellement, pour la transposition ;
• conséquence de ce qui précède, la liste des instruments auto-transpositeurs dégage de la partie calcul et se retrouve déplacée en aide-mémoire ;
• pour moi les deux octaves qui occupent la face avant doivent y avoir la priorité, donc tout ce qui s’y rapporte s’y trouve aussi, le reste dégage éventuellement ailleurs ;
• sur ma Graphoplex 640 il y a une petite fenêtre dans la base de la règle, qui permet de lire le résultat de calculs trigonométriques sans être obligé de sortir la réglette pour la retourner,  mais en retournant la règle, pourquoi ne pas utiliser le même principe ;
• conséquence, le tableau des tons voisins dégage au verso de la réglette et s’affiche dans une fenêtre au verso de la base, laquelle est entourée des explications qui vont bien, et qui seront plus claires parce que mise en page plus simple, et cette fenêtre sert de curseur ;
• si on n’a plus à retourner la réglette, elle n’a plus besoin d’être symétrique, et je pourrais donc agrandir la face inférieure (celle qui coulisse sous l’échelle des notes) vers le bas, pour y loger des aides-mémoire (cette option  n’a finalement pas été retenue pour l’instant car pas nécessaire) ;
• la partie concernant les modes peut aussi se lire au verso, avec une lecture directe de tous les modes et en commençant sur n’importe quel note ;
• l’échelle servant à cet affichage est (comme par hasard ?) la même dont j’ai besoin pour la construction des accord, encore une chose de réglée ;
• autre détail moins spectaculaire mais néanmoins pratique, je renomme mes échelles de façon abrégée, ce qui permet d’écrire la documentation et les aides-mémoire sur la règle de façon plus concise ;
• d’autre part certains aides-mémoire peuvent ainsi être écrits de façon linéaire et non tabulaire, ce qui est plus dans la logique d’une règle, et permet de gagner de la lisibilité.

Autre détail : j’ai agrandi de 3 mm la hauteur de la règle, pour des raisons de cohérence des dimensions,ce qui ne change pas grand chose au reste mais me facilite les calculs de mise en page.

Nouvelles fonctionnalités

Calculs numériques

Comme indiqué plus haut, la RM2 intègre deux échelles logarithmiques, ce qui permet des calculs simples, et dont la précision ne sera pas extraordinaire, puisque j’ai utilisé des échelles de type X². Mais c’est cependant possible.

Relations tempo / métrique / durée

Les échelles logarithmiques ont essentiellement été ajoutées pour ce calcul. On peut :

• calculer la durée d’un morceau en fonction du nombre de mesures, de la métrique et du tempo ;
• à l’inverse, calculer un nouveau tempo qui permettra d’avoir une durée précise, ce qui peut avoir une utilité si la musique doit sonoriser une vidéo par exemple.

On ne peut pas par contre (ou en tout cas pas facilement) calculer combien de mesures on devrait rajouter ou retrancher pour modifier la durée et non le tempo ou l’inverse. Mais je doute que ce calcul soit intéressant.

Pour faciliter ce calcul, une partie a été intégrée directement dans le curseur (la multiplication par 60). Les explications détaillées sur la conception de cette partie, fort longues et détaillées, se trouvent en fin d’article.

Les modes

Ce n’est pas à proprement parler une nouvelle fonctionnalité mais une amélioration sensible des possibilités précédentes. Il reste possible de lire une gamme majeure ou mineure de n’importe quelle tonalité à l’avers de la règle avec les échelles D° mais de plus au revers on peut lire directement n’importe quelle gamme dans n’importe quel mode (restons modeste là encore : seuls les modes de do à si sont implémentés, et non les modes plus exotiques ou complexes).

De plus ce calcul ne marche vraiment bien que pour les tonalités non altérées. Donc même s’il évite de devoir calculer tous les intervalles un à un, il nécessite encore de faire quelques ajustements d’altération, remplacer une note diésée par une bémolisée par exemple. D’autre part, même pour les tonalités non altérées il est nécessaire d’ajuster l’une des deux valeurs possibles des notes, de façon à ne pas avoir deux notes du même nom. Et un ajustement valable pour un mode ne le sera pas forcément pour un autre.

Dans l’exemple ci-dessous, on peut voir que de nombreux modes ne sont pas corrects, mais qui irait écrire un morceau en tonalité de ré bémol et en mode de si ?

Enfin, les notes telles que si dièse ou do bémol n’ont pas été écrites, et pour calculer des gammes telles que celle de do dièse, il sera probablement plus simple d’utiliser l’avers de la règle.

Nouveaux aides-mémoire

Comme il restait de la place sous la réglette, même si c’est au milieu des fenêtres de lecture des modes et accords, j’ai pu y ajouter :

• les signes d’interprétation ;
• les points d’orgue.

Et comme la partie centrale est celle qui est généralement la moins découverte, j’y ai mis une information de propriété afin de personnaliser chaque règle. Ceux qui voudront imprimer et fabriquer eux-même leur règle auront une information générique, mais pour les autres ce sera leur nom qui sera imprimé, non seulement en clair, mais également sous forme de code-barre (format 128B). Just for fun!

Il reste encore un peu de place, mais je ne sais vraiment plus quoi mettre… Le Danhauser a déjà été quasiment transcrit. Et il reste la possibilité de rajouter environ 4 ou 5 lignes dans le bas de la réglette sous la base, tant recto que verso…

Ce n’est pas réellement un aide-mémoire mais j’ai aussi utilisé une partie de la place libre sur le curseur (il en reste là aussi pas mal de disponible) pour indiquer les numéros des octaves dans la partie inférieure, celle où on lit les notes dans les différentes clés.

Instruments auto-transpositeurs

Les tonalités des instruments sont indiquées de façon plus claire et plus facile d’accès, et j’ai ajouté leur intervalle par rapport au do.

Tempo/durée/métrique, la théorie

Tout d’abord un petit rappel des faits pour les non musiciens :

• un morceau de musique comprend un nombre défini de mesures (que je noterai M), dont la structure rythmique est définie par une “métrique” (4/4 ou 6/8 par exemple) qui indique au numérateur combien de temps (“unités rythmiques”) la mesure contient et au dénominateur la valeur de cette “unité rythmique” ;
• il y a également normalement une indication de tempo (le réglage du métronome) qui peut être numérique ou littérale (mais dans ce cas la Cartronex contient un tableau de correspondance vers les valeurs numériques) et qui sera noté T^o ;
• lorsque l’indication est numérique elle est généralement du style ♩=110 ou ♪=80, et correspond normalement à la valeur de l’unité rythmique (la noire vaut 4 et la croche 8) : une métrique en 4/4 aura une indication de tempo de type ♩=110 et pour un 4/8 on aurait par exemple ♪=80 ;
• l’indication de tempo peut cependant ne pas correspondre à la métrique, et on trouve notamment des partitions écrites par exemple en 12/8 dont l’indication métronomique sera relative à la noire pointée (et non la croche) soit par exemple ♪.=80, et dans ce cas il n’y aura que 4 et non 12 unités par mesure – il vaudra donc mieux parler d’unité métronomique (qui sera notée uM) et non rythmique, et cette conversion (très simple) sera à effectuer par l’utilisateur préalablement au calcul ;
• l’indication métronomique du tempo est la suivante : le nombre indique combien de notes, dont la figure est représentée, sont nécessaires pour durer une minute, donc ♩=120 indique par exemple qu’il y a 120 noires par minute, ce qui revient à dire qu’une noire dure 1/120 de minute, soit 60/120 de secondes : une demi-seconde ;
• la formule de calcul est donc la suivante : D = M x uM x 60 / To (au facteur fixe 60 près, c’est une simple règle de trois) ;
• et pour finir, les valeurs de tempo se situent entre 40 et 208.

Maintenant, comment adapter ça à une logique de règle à calcul ? On pourrait envisager de tout simplement intégrer deux échelles logarithmiques ordinaires et donner les formules à appliquer mais ce serait trop simpliste… Il m’a semblé plus intéressant (et gratifiant) d’imaginer comment simplifier les calculs afin d’avoir la lecture directe des données sur des échelles correctement dimensionnées. Voici le raisonnement que j’ai suivi.
Tout d’abord, l’utilisateur d’une Cartronex n’étant a priori pas familier avec l’usage d’une règle à calcul(er), je tiens à lui faciliter les choses : les graduations seront conçues afin d’éviter au maximum les décalages d’origine de la réglette et les ajustements de puissance de 10, quitte à multiplier les graduations :

• l’échelle des tempo devant comprendre des graduations de 40 à 208, on utilisera une échelle de type X², mais graduée de 10 à 1000 (et non de 1 à 100) afin d’avoir une lecture directe de celui-ci ;
• l’échelle des mesures doit également être graduée de 10 à 1000, il n’y a aucun intérêt à calculer la durée d’un morceau de moins de 10 mesures, et même dans ce cas le calcul reste faisable, il suffira de diviser le résultat par 10 ;
• il est cependant judicieux de dupliquer l’échelle des mesures avec une échelle de 1 à 100, ce qui permet d’éviter des translations de réglette au cas où le nombre de mesures tomberait en dehors de la règle ;
• l’échelle de la durée doit également être graduée de 10 à 1000 secondes mais il est judicieux de l’écrire sous forme de minutes et secondes, mais il ne faut pas faire d’illusions, la précision deviendra très faible à partir de 10 minutes, ce qui suffit largement pour une chanson, pas pour un opéra ;
• le nombre de temps (ou unités métronomiques) par mesure étant par contre normalement de l’ordre de l’unité, voire de la dizaine, l’échelle devra être graduée de 1 à 100.

Réglons tout d’abord le cas de cette multiplication par 60 :

• il est intéressant d’intégrer cette multiplication “en dur” au moyen d’un repère situé sur le curseur  ;
• la distance de 1 à 60 sur l’échelle X² est énorme mais celle de 100 à 60 tout à fait raisonnable, et tient parfaitement dans le curseur, on utilisera donc celle-ci mais il faudra tenir compte du fait que la multiplication ne se fera plus que par 6 et non 60 d’une part, et d’autre part que le repère de départ sera à droite et celui d’arrivée à gauche ;
• il faut donc que cette multiplication “en reculant” ne puisse sortir des limites de la règle, ce qui est le cas puisqu’aucune mesure ne peut contenir moins de deux temps, et que la distance entre 1 et 2 est supérieure à celle entre 60 et 100 sur une échelle X² ;
• conséquence logique : il faut que l’échelle de départ du calcul soit graduée de 1 à 100 et non de 10 à 1000, ce qui impose l’unité métronomique comme multiplicande (point de départ du calcul).

L’opération (uM x 60) est maintenant effectuée sans aucun déplacement, elle sera donc notée entre parenthèses.
Par ailleurs, la meilleure façon de calculer une règle de trois est de commencer par la division puis effectuer ensuite la multiplication, car on élimine ainsi le positionnement de l’origine de la réglette. Donc la formule peut maintenant s’écrire (dans l’ordre des opérations) D = (uM x 60) / T^o x M.
Petite explication pour les non familiers de la règle à calcul(er) :

• les échelles situées sur une règle sont logarithmiques, ce qui permet, sans entrer dans de tortueux détails mathématiques, de transformer une multiplication en addition et une division en soustraction ;
• pour multiplier on ajoute deux longueurs de règle, et pour diviser on retranche ;
• pour enchaîner division et multiplication on commence par diviser, c’est à dire placer le curseur sur le multiplicande sur l’échelle fixe, puis on déplace la réglette mobile pour placer le diviseur sous le curseur, la graduation 1 de cette réglette sera alors face au résultat de la division sur l’échelle fixe ;
• il suffit alors de repartir de cette valeur et lui ajouter la longueur correspondant au multiplicateur, ce qui se fait très simplement en déplaçant le curseur jusqu’à cette valeur sur l’échelle mobile, et le résultat se trouve une nouvelle fois sur l’échelle fixe.

Le diviseur et le multiplicateur devront par conséquent se trouver sur l’échelle mobile. Pour le tempo, seule les graduations de 10 à 100 seront utilisées, mais pour le nombre de mesures, l’une ou l’autre des échelles pourra être utilisée, et uniquement sur une des moitiés mais je laisse le soin au lecteur de comprendre laquelle et pourquoi, je n’ai pas le temps actuellement de développer. Avis aux fins limiers de la RàC !

Récapitulons (avec une simulation graphique c’est plus parlant) :

• Placer le repère rouge de droite du curseur (j’ai fait ces repères très gros pour qu’ils soient bien visibles, ce ne serait pas de cas sur le pdf de fabrication) sur la valeur de l’unité métronomique de l’échelle uM (image de gauche), puis déplacer la réglette pour afficher le tempo sous le repère gauche du curseur (image du milieu). Ici j’ai choisi d’avoir 4 unités métronomiques par mesure (une mesure à quatre temps, ou 12/8, ou…) et un tempo de 120. Pour les forts en calcul mental, ça nous fait une mesure qui dure 2 secondes.
• Puis sans bouger la réglette, déplacer le repère gauche du curseur vers la valeur du nombre de mesure sur cette réglette, et on lit la durée sur l’échelle fixe D (image de droite). Pour cette lecture n’importe quel repère peut être utilisé, donc on va prendre ici les plus lisibles, les deux repères noirs encadrant normalement le nom d’une note. Celui de gauche, face à la valeur de 64 mesures, donne une durée de 2 minutes et 8 secondes, ce que les forts en calcul mental ne pourront qu’approuver. Et le repère de droite donne pour 77 mesures une durée de 2’34”. Toujours correct.
• Si je veux que mes 64 mesures ne durent que deux minutes, il me faut calculer une nouvelle valeur de tempo. C’est aussi simple que ci-dessus mais on procède à l’envers : j’affiche la valeur 64 en face de 2′, je décale le curseur pour afficher 4 unités métronomiques sous le repère de droite, et sous le repère de gauche je lis la nouvelle valeur du tempo : 128.